整数の直交 - 理系大学院生のブログ

こんにちは

今日は簡単な記事書きますね。

下のものを見て何かわかりますか？

$1188\perp4165$

いやいやいや、1188と4165は直交(図形なら垂直と言います)じゃないよね？そんな感想だったら嬉しいです。笑

では、この1188と4165が直交ってどういうこと？

今日は

タイトルにあるように互いに素の表示についてお話しします。

「量子力学〜状態のブラケット表示①〜＿の中でもベクトルに触れましたが、ベクトルだと直交していることが簡単にわかりますね。すなわち内積が0になればベクトルは直交していると言えます。一方、今回の1188と4165はなぜ？という疑問が生まれます。

では、数を扱うのでよくやることとして素因数分解をしてみましょう。

$1188=2^2\cdot3^3\cdot11$

$4165=5\cdot7^2\cdot17$

となっています。これだけではまだわかりにくいのある整数 $N$ を素因数分解したら次のようになることを考えましょう。

$N=2^{a_1}\cdot3^{a_2}\cdot5^{a_3}\cdot7^{a_4}\cdot11^{a_{5}}\cdot13^{a_{6}}\cdot17^{a_{7}}\cdot19^{a_{8}}\cdots$

このときに $N$ を次のようにベクトル表示しましょう。

$N=\left(\begin{array}{}a_1\\a_2\\a_3\\a_4\\a_5\\a_6\\a_7\\a_8\\a_9\\\cdots\end{array}\right)$

とすると、1188や4165はどうなるのかというと次のようになります。

$1188=\left(\begin{array}{}2\\3\\0\\0\\1\\0\\0\\0\\0\\\cdots\end{array}\right),\ \ \ 4165=\left(\begin{array}{}0\\0\\1\\2\\0\\0\\1\\0\\0\\\cdots\end{array}\right)$

この2つのベクトルの内積を考えると、

$1188\cdot4165=\left(\begin{array}{}2\\3\\0\\0\\1\\0\\0\\0\\0\\\cdots\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{}0\\0\\1\\2\\0\\0\\1\\0\\0\\\cdots\end{array}\right)=0$