積分と和分 - 理系大学院生のブログ

f:id:a_graduate_student:20171223123753j:plain

こんにちは

では、今日も少し数学的なお話をしますね。

f:id:a_graduate_student:20171229131936p:plain

積分と和分、すなわち $\displaystyle\int$ と $\displaystyle\sum$ について話します。。

高校でなんかやったなって人もいるかもしれませんが、もっとわかりやすく話しますね。当然この関係は物理をやる時にもかなり大事になります。

では、上の図で考えていきます。今回は少し単純化してお話していくのでご了承ください。

まず、ある関数 $y=f(x)$ において区間 $[a,b$ ]における面積 $S$ を求めよう。

こんなことを言われれば次の積分によって面積を求めると思います。

$\displaystyle S=\int^b_af(x)dx$

ここまでは高校の最初の積分の授業で行うと思います。では、図の右側のように長方形を区切ったようなモデルで考えてみましょうか。この長方形の長さは長方形の左下の $x$ 座標のときの $y$ 座標とします。

この時に一つ一つの長方形の幅を $\Delta x$ とします。この時に長方形の左下の $x$ 座標が $x_n$ にある一つの長方形の面積 $\Delta S$ は次のようになることは簡単にわかります。

$\displaystyle \Delta S=f(x_n)\Delta x$

ここまでついてこれていますか？わからなければコメントくださいね！

では先に進めます。

では、長方形の数が $N$ 個あるときの $\Delta x$ を考えましょう。今回は単純化のため $\Delta x$ はすべて一定の大きさとします。

$\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{N}\Delta n$

ここで $\Delta n$ は何を表すかといういうと、 $\Delta n=1$ を表し、一つ一つの幅という意味で追加しています。例えば、仮に今回の長方形2つを1つの長方形とするなら $\displaystyle \Delta x=2\frac{b-a}{N}\Delta n$ となります。

そうすると、今回の面積を和分(すなわち和)を求めると次のようになります。

$\displaystyle S=\sum^{N-1}_{n=0}\Delta S=\sum^{N-1}_{n=0}f(x_n)\Delta x=\sum^{N-1}_{n=0}f(x_n)\frac{b-a}{N}\Delta n$

また、 $x_n$ は次のようになります。ただし、今回 $x_0=a$ 、 $\displaystyle x_N=b$ としています。

$\displaystyle x_n=a+\frac{b-a}{N}n$

よって、面積は次のようになります。

$\displaystyle S=\sum^{N-1}_{n=0}f\left(a+\frac{b-a}{N}n\right)\frac{b-a}{N}\Delta n$

高校数学では、この和分のときの $\Delta n$ を実は省略しています。理由は単純で $1,2,3,\cdots$ というように差が $1$ である整数のみを扱うからです。すなわち、 $\Delta n=1$ だからです。

そういうことで、高校数学風に書き直すと次のようになります。

$\displaystyle S=\sum^{N-1}_{n=0}f\left(a+\frac{b-a}{N}n\right)\frac{b-a}{N}$

これは余談ですので、元の標識でもう少し進めます。では、最後にこの長方形の幅が無限に小さくなった場合、すなわち飛び飛びでなく連続的な長方形の和を考えます。実はこれが本当の積分というものです。幅が無限に小さいので $\displaystyle \lim_{N\to\infty}$ とすれば良いので次の関係式が成り立ちます。

$\displaystyle S=\int^b_af(x)dx=\lim_{N\to\infty}\sum^{N-1}_{n=0}f\left(a+\frac{b-a}{N}n\right)\frac{b-a}{N}\Delta n$

ちなみにここまでは普通に理解できるじゃんって思う方も多いかもしれません。ただ、この表式を次のように書かれると一気に謎になる人が多いので最後に書いておきます。

$\displaystyle S=\int^b_af(x)dx=\lim_{N\to\infty}\sum^{N-1}_{n=0}f(x_n)\Delta x$

こう見ると積分と和分って同じ式のように見えてきませんか？見えてきたら今回の目的は達成です！！

ちなみに、 $dx$ とは微小な差を表すので次のようになっています。

$\displaystyle dx=\lim_{N\to\infty}\Delta x$

だから微小面積も次のようになります。

$\displaystyle dS=\lim_{N\to\infty}\Delta S=\lim_{N\to\infty}f(x)\Delta x$

最後にまとめてみると、 $\displaystyle \int^b_af(x)dx$ は $\displaystyle \sum^{N-1}_{n=0}f(x_n)\Delta x$ の連続版ということです。これって結局、連続と離散の関係になっていますね。だから積分と和分は連続と離散の関係と覚えておきましょう。そうすると実は微分と差分も一緒じゃんとわかりますよ。近いうちに話しますね！では！

2018-12-29